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Adicionado figuras do cap1
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Raniere Silva committed Aug 12, 2013
1 parent 045bb83 commit 514fb00
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171 changes: 161 additions & 10 deletions extra/cap01@notas_de_aula.tex
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Expand Up @@ -478,11 +478,25 @@ \section{Forma complexa}
Seja $f(x)$ dado por
\begin{dmath*}
f(x) = \begin{cases}
1 / 2a, & |x| \leq a, \\
1 / (2a), & |x| \leq a, \\
0, & |x| > a,
\end{cases}
\end{dmath*}
onde $a < L$. Logo, temos
onde $a < L$.
O gŕafico de $f(x)$ é ilustrado abaixo.
\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,1) node[above right] {$f(x)$};
\draw (-2,0) node[below] {$-a$};
\draw (2,0) node[below] {$a$};
\draw (0,1/4) node[above right] {$1/(2a)$};

\draw[blue] (-3,0) -- (-2,0) -- (-2,1/4) -- (2,1/4) -- (2,0) -- (3,0);
\end{tikzpicture}
\end{figure}
Logo, temos
\begin{dmath*}
c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) \exp\left( -i n \pi x / L \right) \vi{x}
= \frac{1}{2L} \int_{-a}^a \frac{1}{2a} \exp\left( -i n \pi x / L \right)
Expand Down Expand Up @@ -677,7 +691,30 @@ \section{Propriedades de Paridade: Séries em Seno e Cosseno}
F_-(x) = \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{1 - 2 (-1)^n}{n \pi} \right)
\sin\left( n \pi x / L \right).
\end{dmath*}
% TODO Incluir gráfico.
\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-4.2,0) -- (4.2,0) node[below right] {$x$};
\draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.2) node[above right] {$f(x)$};
\draw (0,-2) node[right] {$-1$};
\draw (0,-2/2) node[right] {$-1/2$};
\draw (0,2) node[left] {$1$};
\draw (0,2/2) node[left] {$1/2$};
\foreach \x in {-4,-3,...,4}{
\draw (\x,0) node[below left] {$\x L$};
}

\foreach \x in {-4,-3,...,4}{
\fill[blue] (\x,0) circle (.1);
}
\foreach \x in {-4,-2,...,3}{
\draw[blue] (\x,2/2) circle (.1) -- +(1,2/2) circle (.1);
}
\foreach \x in {-3,-1,...,4}{
\draw[blue] (\x,-2) circle (.1) -- +(1,2/2) circle (.1);
}
\end{tikzpicture}
\end{figure}

\item Série de Fourier em cossenos:
\begin{dgroup*}
Expand Down Expand Up @@ -705,7 +742,27 @@ \section{Propriedades de Paridade: Séries em Seno e Cosseno}
F_+(x) = \frac{3}{4} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{\left[ (-1)^n - 1
\right]}{n^2 \pi^2} \cos\left( n \pi x / L \right).
\end{dmath*}
% TODO Incluir gráfico.
\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-4.2,0) -- (4.2,0) node[below right] {$x$};
\draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.2) node[above right] {$f(x)$};
\draw (0,-2) node[right] {$-1$};
\draw (0,-2/2) node[right] {$-1/2$};
\draw (0,2) node[left] {$1$};
\draw (0,2/2) node[left] {$1/2$};
\foreach \x in {-4,-3,...,4}{
\draw (\x,0) node[below left] {$\x L$};
}

\foreach \x in {-4,-2,...,3}{
\draw[blue] (\x,2/2) -- +(1,2/2);
}
\foreach \x in {-3,-1,...,4}{
\draw[blue] (\x,2) -- +(1,-2/2);
}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{enumerate}
\end{exem}

Expand Down Expand Up @@ -882,7 +939,7 @@ \subsection{Lemas auxiliares}
\begin{dmath*}
I = \lim_{k \to \infty} \int_p^q F(x) \sin\left( k x \right) \vi{x} = 0.
\end{dmath*}
% TODO Terminar a demonstração do Lema.
% TODO Terminar a demonstração do Lema. Página 23 de M2S12-3.pdf.
\end{proof}

\begin{lem} \label{lem:sin(x)/x}
Expand All @@ -897,7 +954,7 @@ \subsection{Lemas auxiliares}
\vi{x}$ para $t \geq 0$.

Seja $S(x) = \sin\left( x \right) / x$.
% TODO Terminar a demonstração do Lema.
% TODO Terminar a demonstração do Lema. Página 25 de M2S12-3.pdf.
\end{proof}

\begin{lem} \label{lem:F_+'(x)}
Expand All @@ -917,7 +974,7 @@ \subsection{Lemas auxiliares}
\intertext{e pelo Lema~\ref{lem:sin(x)/x}}
= \pi / 2.
\end{dmath*}
% TODO Terminar a demonstração do Lema.
% TODO Terminar a demonstração do Lema. Página 28 de M2S12-3.pdf.
\end{proof}

\begin{lem} \label{lem:lim_int}
Expand All @@ -936,7 +993,7 @@ \subsection{Lemas auxiliares}
I(k) = \int_a^b F(x) \frac{\sin\left( k \left( x - x_0 \right) \right)}{x -
x_0} \vi{x}
\end{dmath*}
% TODO Terminar a demonstração do Lema.
% TODO Terminar a demonstração do Lema. Página 29 de M2S12-3.pdf.
\end{proof}

\subsection{Demonstração do Teorema de Fourier}
Expand Down Expand Up @@ -1269,7 +1326,7 @@ \section{Convergência na Média}
\end{dmath*}
\end{teo}
\begin{proof}
% TODO Corrigir essa demonstração.
% TODO Corrigir essa demonstração. Página 41 de M2S12-4.pdf.
Ver página anterior.
\end{proof}

Expand Down Expand Up @@ -2036,7 +2093,101 @@ \section{Fenômeno de Gibbs}
\caption{Ilustração do Fenômeno de Gibbs para onda quadrada.}
\label{fig:fenom_gibbs}
\end{figure}
% TODO Terminar de digitar a seção sobre o Fenômeno de Gibbs do arquivo M2S12-5.

Então
\begin{dmath*}
S_N(x) = \int_{-\pi}^{+\pi} f(\epsilon) D_N(\epsilon - x) \vi{\epsilon}
= \int_{-\pi}^{+\pi} f(\epsilon) \frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon - x)}{2 \pi
\sin\left( (\epsilon - x) / 2 \right)}
= -\frac{h}{4 \pi} \int_{-\pi}^0 \frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon -
x)}{\sin\left( \epsilon - x) / 2 \right)} \vi{\epsilon} + \frac{h}{4 \pi}
\int_0^{+\pi} \frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon - x)}{\sin\left( (\epsilon - x)
/ 2 \right) \vi{\epsilon}}
= -\frac{h}{4 \pi} \int_0^{+\pi} \frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon +
x)}{\sin\left( (\epsilon + x) / 2 \right)} + \frac{h}{4 \pi} \int_0^{+\pi}
\frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon - x)}{\sin\left( (\epsilon - x) / 2 \right)
\vi{\epsilon}}
= \frac{h}{4 \pi} \int_0^{+\pi} \frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon -
x)}{\sin\left( (\epsilon - x) / 2 \right)} \vi{\epsilon} - \frac{h}{4 \pi}
\int_0^{+\pi} \frac{\sin(N + 1 / 2) (\epsilon + x)}{\sin\left( (\epsilon + x)
/ 2 \right)} \vi{\epsilon}
= \frac{h}{4 \pi} \int_{-x}^{\pi - x} \frac{\sin(N + 1 / 2) u}{\sin(u / 2)}
\vi{u} - \frac{h}{4 \pi} \int_{x}^{\pi + x} \frac{\sin(N + 1 / 2) u}{\sin(u /
2)}
= \frac{h}{4 \pi} \int_{-x}^{x} \frac{\sin(N + 1 / 2) u}{\sin(u / 2)} \vi{u} -
\frac{h}{4 \pi} \int_{\pi - x}^{\pi + x} \frac{\sin(N + 1 / 2) u}{\sin(u / 2)}
\vi{u}
= S_1(x) + S_2(x).
\end{dmath*}
Na vizinhança da descontinuidade ($x = 0$)
\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.2,0) -- (4.2,0);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);

\fill[blue] (-1,0) rectangle (2,1);
\fill[red] (1,0) rectangle (4,-1);

\draw (-1,0) node [below] {$-x$};
\draw (1,0) node [below] {$x$};
\draw (2,0) node [below] {$\pi - x$};
\draw (3,0) node [below] {$\pi$};
\draw (4,0) node [below] {$\pi + x$};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.2,0) -- (4.2,0);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);

\fill[blue] (-1,0) rectangle (1,1);
\fill[red] (2,0) rectangle (4,-1);

\draw (-1,0) node [below] {$-x$};
\draw (1,0) node [below] {$x$};
\draw (2,0) node [below] {$\pi - x$};
\draw (3,0) node [below] {$\pi$};
\draw (4,0) node [below] {$\pi + x$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\begin{dmath*}
\lim_{x \to 0} S_2(x) = \lim_{x \to 0} \int_{-\pi - x}^{\pi + x} \left( \ldots
\right)
\sim \int_{\pi}^{\pi} \left( \ldots \right)
\sim \frac{\sin\left( N + 1 / 2) \pi \right)}{\sin(\pi / 2)} (\pi - \pi)
= \frac{\sin\left( N + 1 / 2) \pi \right)}{\sin(\pi / 2)} 0
= 0.
\end{dmath*}
Porém, o mesmo não vale para $S_1(x)$ devido à descontinuidade do integrando
($\sin(0) = 0$).
\begin{dmath*}
S_N(x) \sim \frac{h}{4 \pi} \int_{-x}^{x} \frac{\sin\left( (N + 1 / 2) u
\right)}{\sin(u / 2)} \vi{u}
= \frac{h}{2 \pi} \int_0^x \frac{\sin\left( N + 1 / 2) u \right)}{\sin(u / 2)}
\vi{u}
\sim \frac{h}{2 \pi} \int_0^{(N + 1 / 2) x} \frac{\sin(t)}{(N + 1 / 2)
\sin\left( t / \left( 2 (N + 1/2) \right) \right)}.
\end{dmath*}
O integrando é positivo até $t = (N + 1 / 2) x = \pi$, depois desse valor o
integrando é negativo. Logo, o maior valor de $S_N(x)$ é para $t_{\max} = (N +
1/2) x_{\max} = \pi$ e portanto $x_{\max} = \pi / (N + 1/2) \sim \pi / N$. Então
\begin{dmath*}
S_N^{\max} = \frac{h}{2 \pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{(N + 1/2) \sin\left(
t / 2 (N + 1 / 2) \right)} \vi{t}
= \frac{h}{2 \pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{t / 2} \frac{t}{2 (N + 1 / 2)}
\frac{1}{\sin\left( t / \left( 2 (N + 1 / 2) \right) \right)}\vi{t}
\end{dmath*}
E para $N \to \infty$, então:
\begin{dmath*}
S^{\max} \sim \frac{h}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{t} \vi{t}
\sim \frac{h}{2} \left[ \frac{2}{h} \int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{t} \vi{t} \right]
\sim \frac{h}{2} 1.1789797.
\end{dmath*}
Logo, $S^{\max}$ é maior do que $h / 2$ por cerca de 18\%.

\begin{obs}
O número de termos na soma parcial não muda $\Delta$ mas apenas desloca o
ponto de máximo (ou mínimo)!
\end{obs}

\section{Teorema da Aproximação de Weierstrass}
\begin{teo}
Expand Down

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