From 9aa2ce1c977fe4e0c7645165b1683ab5e563331b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Raniere Silva Date: Sun, 18 Aug 2013 11:07:48 -0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Corre=C3=A7=C3=A3o=20de=20typo=20e=20melhoria?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- extra/cap01@notas_de_aula.tex | 34 ++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 26 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/extra/cap01@notas_de_aula.tex b/extra/cap01@notas_de_aula.tex index 8fa81e0..7bbe3e4 100644 --- a/extra/cap01@notas_de_aula.tex +++ b/extra/cap01@notas_de_aula.tex @@ -366,7 +366,7 @@ \section{Mudança de intervalo} \begin{dmath*} x' = \frac{\pi}{L} x. \end{dmath*} -Assim, para $f(x') = f(\pi x / L) = f(x)$, temos +Assim, para $f(x') = f(\pi x / L) = F(x)$, temos \begin{dmath*} F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left( a_n \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) + b_n \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \right), @@ -535,7 +535,7 @@ \section{Propriedades de Paridade: Séries em Seno e Cosseno} -f(x) \Rightarrow f \text{ é ímpar}. \end{cases} \end{dmath*} -Debotando uma função par por $f_+(x)$ e uma função ímpar por $f_-(x)$ temos +Denotando uma função par por $f_+(x)$ e uma função ímpar por $f_-(x)$ temos \begin{dmath*} f_\pm(-x) = \pm f_\pm(x). \end{dmath*} @@ -609,6 +609,11 @@ \section{Propriedades de Paridade: Séries em Seno e Cosseno} que é a Série de Fourier em senos. \end{enumerate} +\begin{obs} + Ambas as relações anteriores também são verificadas ao considerar $f(x)$ como + a extensão periódica de uma função $g(x)$. +\end{obs} + \begin{exem} Considere $f(x) = x / \left( 2 L \right) + 1 / 2$ cujo gráfico é ilustrado abaixo. @@ -623,6 +628,7 @@ \section{Propriedades de Paridade: Séries em Seno e Cosseno} \draw[dotted] (0,1) rectangle (1,0); \end{tikzpicture} \end{center} + Calcule: \begin{enumerate} \item Série de Fourier: \begin{dgroup*} @@ -764,6 +770,9 @@ \section{Propriedades de Paridade: Séries em Seno e Cosseno} \end{tikzpicture} \end{figure} \end{enumerate} + + Assim verificamos que para uma função $f(x)$ a série de Fourier, de Fourier em + senos e de Fourier em cossenos podem ser totalmente diferentes. \end{exem} \section{Teorema de Fourier} @@ -1141,7 +1150,7 @@ \section{Convergência na Média} \frac{A_0}{2} \vi{x} - 2 \int_{-\pi}^\pi f(x) \sum_{n = 1}^N \cos\left( n x \right) \vi{x} - 2 \int_{-\pi}^\pi f(x) \sum_{n = 1}^N B_n \sin\left( n x \right) \vi{x} + 2 \int_{-\pi}^\pi \frac{A_0}{2} \cos\left( n x \right) - \vi{x} + 2 \int_{-\pi}^\pi \frac{A_0}{2} \sum){n = 1}^N B_n \sin\left( n x + \vi{x} + 2 \int_{-\pi}^\pi \frac{A_0}{2} \sum_{n = 1}^N B_n \sin\left( n x \right) \vi{x} + 2 \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 1}^N \sum_{m = 1}^N A_n B_n \cos\left( n x \right) \sin\left( m x \right) \vi{x} = \int_{-\pi}^\pi \left[ f(x) \right]^2 \vi{x} + \frac{A_0^2}{4} 2 \pi + @@ -1173,18 +1182,27 @@ \section{Convergência na Média} para $n = 1, \ldots, N$ temos que \begin{dgroup*} \begin{dmath*} - \devp{\Delta_N}{A_0} = \pi A_0 - \int_{-\pi}^\pi f(x) \vi{x} = 0 - \Rightarrow A_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \vi{x} = a_0, + \devp{\Delta_N}{A_0} = \pi A_0 - \int_{-\pi}^\pi f(x) \vi{x} = 0, + \end{dmath*} + \begin{dmath*} + A_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \vi{x} = a_0, \end{dmath*} \begin{dmath*} \devp{\Delta_N}{A_n} = 2 \pi A_n - 2 \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos\left( n x - \right) \vi{x} = 0 \Rightarrow A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) + \right) \vi{x} = 0, \cos\left( n x \right) \vi{x} = a_n, \end{dmath*} + \begin{dmath*} + A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos\left( n x \right) \vi{x} = + a_n, + \end{dmath*} \begin{dmath*} \devp{\Delta_N}{B_n} = 2 \pi B_n - 2 \int_{-\pi} \pi f(x) \sin\left( n x - \right) \vi{x} = 0 \Rightarrow B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) - \sin\left( n x \right) \vi{x} = b_n. + \right) \vi{x} = 0, + \end{dmath*} + \begin{dmath*} + B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin\left( n x \right) \vi{x} = + b_n. \end{dmath*} \end{dgroup*} Além disso, é fácil ver que o extremo em questão é um mínimo.