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\section{Trasformata Serie Di Fourier}
\subsection{Segnale Periodico}
Si definisce segnale periodico un segnale tale che:
\[
x_{(t)} = x_{(t-kT_0)}
\]
\[
T_0=Periodo\ \ \ f_0\triangleq \frac{1}{T_0} =Frequenza
\]
\subsection{Trasformata Serie Di Fourier}
Ogni segnale periodico di periodo $T_0$ che soddifa le condizioni di Dirichlet e la sua $E_x < \infty (C.S.)$ puó essere scritto come la somma di
infinite sinusoidi di frequenze multiple di $f_0 = \frac{1}{T_0}$
\begin{itemize}
\item{Equazione di Sintesi - Antitrasformata(ATSF)\label{ATSF}
\[
x_{(t)} = \sum_{k = -\infty}^{\infty} X_{k} e^{j2\pi kf_0t} \hspace{1cm} X_{k}\in \mathbb{C},\ f_0 = \frac{1}{T_0}
\]
Se lo sviluppassimo sarebbe composto da:
\[
x_{(t)} =\ldots + X_{-1} e^{j2\pi (-1)f_0t} + X_{0} + X_{1} e^{j2\pi (1) f_0t} + \ldots
\]
$X_0$ corrisponde al Valore medio \ref{Valore medio} del segnale, inoltre le componenti $X_k$ prendono il nome di armoniche alla frequenza $f$ corrispondente
}
\item{Equazione di Analisi - Trasformata(TSF)\label{TSF}
\[
X_k =\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x_{(t)} e^{-j2\pi kf_0t} dt
\]
}
\end{itemize}
La TSF gode della biunivocitá: $\forall x_{(t)} \exists! X_k$:
\begin{align}
x_{(t)} & \overunderset{TSF}{ATSF}{\rightleftharpoons} X_k \nonumber\\
Segnale\ Analogico\ Periodico &\overunderset{TSF}{ATSF}{\rightleftharpoons} Sequenza\ Complessa \nonumber
\end{align}
\subsubsection{Rappresentazione di $X_k$}
Essendo $X_k$ un numero complesso puó essere rappresentato in forma polare:
\[
X_k = |X_k|e^{\angle X_k}
\]
Si possono rappresentare il modulo (Ampiezza) e la fase tramite grafici che prendono il nome di spettri:
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[Spettro di Ampiezza]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$k$,
ylabel=$y$,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={-1, 1},
yticklabels={$-1$, $1$},
width=12cm,
height=6cm
]
\addplot [red,dotted, samples = 300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at={-4,-3.6,-3.2,-2.8,-2.4,-2,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2,2.4,2.8,3.2,3.6,4}] {abs(sin(deg(x*pi))/(x*pi))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\hfill
\subfloat[Spettro di Fase]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$k$,
ylabel=$y$,
ymin=-pi,
ymax=pi,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={-pi, pi},
yticklabels={$-\pi$, $\pi$},
width=12cm,
height=6cm
]
\addplot [red,dotted, samples = 300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at={-4,-3.6,-3.2,-2.8,-2.4,-2,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2,2.4,2.8,3.2,3.6,4}] {rad(atan2(0,sin(deg(x*pi))/(x*pi)))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\caption{Spettro di un treno di rect}
\end{figure}
lo spettro di Ampiezza gode della \textbf{simmetria pari} rispetto alle ascisse quindi é \textbf{sempre positivo}, mentre lo spettro di fase della \textbf{simmetria dispari}.
\subsection{Propietá della TSF}
\subsection{Linearitá}
\subsection{Simmetria Hermitiana}
\subsection{Calcolo dei coefficienti $X_k$ per segnali noti}
\subsubsection{$A\cos(2\pi f_0 t)$}
$x_{(t)}=A\cos(2\pi f_0 t), \hspace{0.3cm} A>0$
\begin{align}
ATSF[x_{(t)}] & = ATSF[A\cos(2\pi f_0 t)] \nonumber \\
& = ATSF[\frac{A}{2} (e^{j2\pi kf_0t} + e^{-j2\pi kf_0t})] \nonumber
\end{align}
Utilizzando la composizione dei coefficienti $X_k$:
\begin{align}
x_{(t)} & =\ldots + X_{-1} e^{j2\pi (-1)f_0t} + X_{0} + X_{1} e^{-j2\pi (1) f_0t} + \ldots \nonumber\\
Abbiamo:& \nonumber
\end{align}
\[X_{-1} = \frac{A}{2}\hspace{.3cm} X_{0} = 0\hspace{.3cm} X_{1} = \frac{A}{2}\]
Possiamo tracciare lo spettro del segnale:
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[Spettro di Ampiezza]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-4:4,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$y$,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={1},
yticklabels={$\frac{A}{2}$},
width=6.5cm,
height=5cm
]
\addplot [const plot,black,dotted] coordinates{(-4,1)(4,1)};
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at = {-1,1}] {1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\hfill
\subfloat[Spettro di Fase]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-4:4,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$y$,
ymin=-pi,
ymax=pi,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={-pi, pi},
yticklabels={$-\pi$, $\pi$},
width=6.5cm,
height=5cm
]
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}] {0};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\caption{Spettro TSF del coseno $A>0$}
\end{figure}
\subsubsection{$A\sin(2\pi f_0 t)$}
$x_{(t)}=A\sin(2\pi f_0 t), \hspace{0.3cm} A>0$
\begin{align}
ATSF[x_{(t)}] & = ATSF[A\sin(2\pi f_0 t)] \nonumber \\
& = ATSF[\frac{A}{2} (e^{j2\pi kf_0t} - e^{-j2\pi kf_0t})] \nonumber
\end{align}
Utilizzando la composizione dei coefficienti $X_k$:
\begin{align}
x_{(t)} & =\ldots + X_{-1} e^{j2\pi (-1)f_0t} - X_{0} + X_{1} e^{-j2\pi (1) f_0t} + \ldots \nonumber\\
Abbiamo:& \nonumber
\end{align}
\[X_{-1} = -\frac{A}{2j}\hspace{.3cm} X_{0} = 0\hspace{.3cm} X_{1} = \frac{A}{2j}\]
\[
|X_k|=
\begin{cases}
|\frac{A}{2j}| = \frac{A}{2} \hspace{0.5cm} & k= 1\\
|-\frac{A}{2j}| = \frac{A}{2} \hspace{0.5cm} & k= -1\\
0 \hspace{0.5cm} & altrove \\
\end{cases}
\hspace{0.5cm}
\angle X_k=
\begin{cases}
\angle \frac{A}{2j} = -\frac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} & k= 1\\
\angle |-\frac{A}{2j}| = \frac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} & k= -1\\
0 \hspace{0.5cm} & altrove \\
\end{cases}
\]
Possiamo tracciare lo spettro del segnale:
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[Spettro di Ampiezza]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-4:4,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$y$,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={1},
yticklabels={$\frac{A}{2}$},
width=6.5cm,
height=5cm
]
\addplot [const plot,black,dotted] coordinates{(-4,1)(4,1)};
\addplot+ [blue, thick,mark = triangle*, ycomb, samples at = {-1,1}] {1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\hfill
\subfloat[Spettro di Fase]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-4:4,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$t$,
ylabel=$y$,
ymin=-pi,
ymax=pi,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={-pi,-1/2*pi,1/2*pi, pi},
yticklabels={$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$ $\pi$},
yticklabel style = {xshift=3pt},
width=6.5cm,
height=5cm
]
\addplot+ [blue, thick,mark = square*,const plot] coordinates{(-1,1/2*pi)(-1,0)};
\addplot+ [blue, thick,mark = square*,const plot] coordinates{(1,-1/2*pi)(1,0)};
\addplot [black, dotted,const plot] coordinates{(-3,-1/2*pi)(3,-1/2*pi)};
\addplot [black, dotted,const plot] coordinates{(-3,1/2*pi)(3,1/2*pi)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\caption{Spettro TSF del seno $A>0$}
\end{figure}
\subsubsection{Treno di rect}
$x_R=A\hspace{0.1cm}rect\left(\frac{t}{T}\right)\rightarrow$ Segnale periodico $\rightarrow x_{(t)} = \sum_{-\infty}^{\infty} x_R (t-nT_0)$\\
$T_0 = periodo$, $T = durata \rightarrow T < T_0$, se cosi non fosse avremmo una costante
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
xmin=-5,
xmax=5,
ymin=-0.5,
ymax=4,
ytick = {1.5},
xtick={-3,-1, 0, 1,3},
xticklabels={$-T_0$,$-\frac{T}{2}$, $0$, $\frac{T}{2}$,$T_0$},
yticklabels = {$A$},
yticklabel style = {yshift=5pt,xshift=4pt},
axis lines=middle,
thick,
domain=-5:5,
samples=100,
width=10cm,
height=4cm
]
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-1,1.5)(1,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-1,0)(-1,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(1,0)(1,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-2,1.5)(-4,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-2,0)(-2,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-4,0)(-4,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(2,1.5)(4,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(2,0)(2,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(4,0)(4,1.5)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(2,0)(1,0)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-2,0)(-1,0)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(-4,0)(-5,0)};
\addplot [const plot,red, thick] coordinates{(4,0)(5,0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Treno di $A\hspace{0.1cm}rect\left(\frac{t}{T}\right)$}
\label{fig:treno di rect}
\end{figure}
$\rightarrow$ Si nota come cambiare il periodi delle funzioni possiamo renderle da aperiodiche a periodiche e viceversa
\begin{align}
ATSF[x_{(t)}] & = ATSF[\sum_{-\infty}^{\infty} x_R (t-nT_0)] \nonumber \\
& = \frac{1}{T_0} \int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x_{(t)} e^{-j2\pi kf_0t} dt = \frac{1}{T_0} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_{(t)} e^{-j2\pi kf_0t} dt \nonumber \\
& = \frac{A}{T_0} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j2\pi kf_0t} dt = \eval{\frac{A}{T_0} \frac{1}{j2\pi kf_0} e^{-j2\pi kf_0t}}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \nonumber \\
& = \frac{A}{T_0} \frac{e^{-j\pi kf_0T} - e^{j\pi kf_0T}}{j2\pi kf_0} = \frac{A}{T_0} \frac{e^{j\pi kf_0T}-e^{-j\pi kf_0T}}{-j2\pi kf_0} \nonumber \\
& = \frac{A\color{purple}{T}}{T_0} \frac{e^{j\pi kf_0T}-e^{-j\pi kf_0T}}{-j2\pi kf_0\color{purple}{T}} = Af_0T sinc(kf_0T) \nonumber
\end{align}
Tracciamo lo spettro per $f_0T<1$:
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[Spettro di Ampiezza]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$k$,
ylabel=$y$,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$},
ytick={-1, 1},
yticklabels={$-1$, $1$},
width=12cm,
height=6cm
]
\addplot [red,dotted, samples = 300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at={-4,-3.6,-3.2,-2.8,-2.4,-2,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2,2.4,2.8,3.2,3.6,4}] {abs(sin(deg(x*pi))/(x*pi))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\hfill
\subfloat[Spettro di Fase]{
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$k$,
ylabel=$y$,
ymin=-pi,
ymax=pi,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={-pi, pi},
yticklabels={$-\pi$, $\pi$},
width=12cm,
height=6cm
]
\addplot [red,dotted, samples = 300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at={-4,-3.6,-3.2,-2.8,-2.4,-2,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2,2.4,2.8,3.2,3.6,4}] {rad(atan2(0,sin(deg(x*pi))/(x*pi)))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}
\caption{Spettro TSF del treno di rect con $f_0T<1$}
\end{figure}
Si possono anche unire i due spettri per ottenere:
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
domain=-5:5,
samples=200,
axis lines=middle,
xlabel=$k$,
ylabel=$y$,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
xticklabels={$-5$,$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$},
ytick={-1, 1},
yticklabels={$-1$, $1$},
xticklabel style = {yshift=-7pt},
width=12cm,
height=6cm
]
\addplot [red,dotted, samples = 300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\addplot+ [blue, thick, ycomb, samples at={-4,-3.6,-3.2,-2.8,-2.4,-2,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2,2.4,2.8,3.2,3.6,4}] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Spettro treno di $A\hspace{0.1cm}rect\left(\frac{t}{T}\right)$}
\label{fig:Spettro treno di rect}
\end{figure}
Ora appizza matlab e fa esempi di un segnale e uno di ricostruzione dello stesso(script di matlab presenti nel teams):
\begin{itemize}
\item Se un segnale varia molto rapidamente nel tempo ha componenti frequenziali piú alte $\rightarrow$ copre piú spettro(espansione spettrale) $T_0 \Downarrow$
\item Se un segnale varia molto lentamente copre le basse fraquenze $ T_0 \Uparrow$
\end{itemize}
Se non ho abbastanza passi K non posso campionare le alte frequenze e quindi non faccio ne un analisi completa del segnale né riesco a ricostruire perfettamente il segnale
Inoltre in $0$ dello spettro ho il Valor medio \ref{Valore medio} del segnale.