-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathproba-final.tex
1459 lines (1206 loc) · 52.9 KB
/
proba-final.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\documentclass[a4paper,spanish]{article}
\usepackage[spanish,activeacute]{babel}
\usepackage{moreverb}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,latexsym}
\usepackage{enumerate}
\oddsidemargin -0.5in
\textwidth 7.2in
\topmargin 0in
\addtolength{\topmargin}{-.5in}
\textheight 10in
\parskip=1ex
\pagestyle{fancy}
%usar el segundo nivel de enumeracion con letras
%\Rnewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}. }
\newcommand{\Rv}{\marginpar{REVISAR}}
\newcommand{\nohecho}{\marginpar{NO HECHO}}
%espaciado
\newcommand{\vsp}{\vspace{0.4cm}}
\newcommand{\hsp}{\hspace*{0.12cm}}
%comandos para el resumen
\newcommand{\tab}{\hspace*{1cm}}
\newcommand{\llamada}[1]{\begin{center} \bfseries #1 \mdseries \end{center}}
\newcommand{\nota}[1]{\vsp\defi{Nota}{#1}\vsp}
\newcommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{\norma}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\limite}[2]{\lim_{ #1 \rightarrow #2}}
\newcommand{\xx}[0]{\mathbf{x}}
\newcommand{\xO}[0]{\mathbf{x_0}}
\newcommand{\yO}[0]{\mathbf{y_0}}
\newcommand{\comp}[0]{\circ}
\newcommand{\parcial}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\D}[0]{\mathbf{D}}
\newcommand{\He}[0]{\mathbf{H}}
%\newcommand{\J}[0]{\mathbf{J}}
\newcommand{\grad}[0]{\bigtriangledown}
\newcommand{\eps}[0]{\varepsilon}
\newcommand{\lthen}[0]{\Rightarrow}
\newcommand{\piso}[1]{\left\lfloor{x}\right\rfloor}
\newcommand{\bigfrac}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\bigchoose}[0]{\displaystyle\choose}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\newcommand{\expon}[0]{{\cal E}}
\newcommand{\tiendep}[0]{\longrightarrow^p}
\newcommand{\tiended}[0]{\longrightarrow^d}
\DeclareMathOperator{\MAD}{MAD}
\DeclareMathOperator{\ECM}{ECM}
\newtheorem{teo}{Teorema}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{coro}{Corolario}
\newtheorem{defi}{Definici\'on}
\newtheorem{obs}{Observaci\'on}
% proof
\newenvironment{demo}{{\noindent \textbf{Demo: }}}{\hfill\rule{2mm}{2mm}\par}
\lhead{Probabilidad y Estad\'istica (C)}
\rhead{Apunte de repaso general}
\cfoot{$\thepage$ de \pageref{theend}}
\begin{document}
Disclaimer: Este apunte no es autocontenido y fue pensado como un repaso
de los conceptos, no para aprenderlos de aqu'i directamente.
\section{Teor'ia de probabilidad}
\begin{defi}[espacio muestral]
Un \emph{espacio muestral} es el conjunto de resultados posibles de un
experimento.
\end{defi}
\begin{defi}[evento]
Un \emph{evento} o \emph{suceso} es un subconjunto del espacio muestral.
\end{defi}
\begin{defi}[frecuencia relativa y probabilidad]
La \emph{frecuencia relativa} del evento $A$ est'a dada por la cantidad de
veces que ocurre $A$ $n_A$ sobre la cantidad de veces que se hace el
experimento $n$. $fr(A) = n_A/ n$. Cuando $n$ tiende a infinito $fr(A)$ tiende
a $P(A)$, la probabilidad del evento $A$. Tanto la frecuencia relativa como la
probabilidad estan entre $0$ y $1$.
\end{defi}
\begin{defi}[teor'ia axiom'atica de probabilidad]
La teor'ia axiom'atica de probabilidad est'a definida por los siguientes
axiomas (probabilidades sobre el espacio muestral $S$):
\begin{enumerate}
\item $P(A) \geq 0$.
\item $P(S) = 1$.
\item Si $\forall i \neq j A_i \cap A_j = \emptyset$ entonces
$P(\bigcup_i A_i) = \sum_i P(A_i)$.
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la probabilidad]
La funci'on de probabilidad $P$ cumple lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item $P(A^c) = 1 - P(A)$.
\item $P(\emptyset) = 0$.
\item Si $A \subseteq B$ entonces $P(A) \leq P(B)$ y
$P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$.
\item $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[espacio de equiprobabilidad]
Un espacio de equiprobabilidad $S$ es tal que $\forall x \in S$ se cumple
$P({x}) = 1 / \#S$.
\end{defi}
\begin{defi}[probabilidad condicional]
La probabilidad condicional de $A$ dado que sucedi'o $B$ es la probabilidad de
que suceda el evento $A$ con el espacio muestra reducido a $B$. Escribimos
$$P(A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P(B)}.$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la probabilidad condicional]
Las probabilidades condicionales sobre el espacio muestral $S$ cumplen:
\begin{enumerate}
\item $P(A|B) \geq 0$
\item $P(S|B) = 1$
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{teo}[regla del producto]
Si $P(A)>0$ y $P(B)>0$ entonces $P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$.
\end{teo}
\begin{teo}[regla del producto generalizada]
Si $\forall k P(A_1 \cap ... \cap A_k) > 0$ entonces
$$P(A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1 \cap A_2) ...
P(A_n|A_1 \cap ... \cap A_{n-1}).$$
\end{teo}
\begin{defi}[partici'on]
$A_1,...,A_k$ se dice una \emph{partici'on del espacio muestral} $S$ sii
$\forall i,j$:
\begin{enumerate}
\item $A_i \cap A_j = \emptyset$
\item $P(A_i) > 0$
\item $\bigcup_{i=1}^k A_i = S$.
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{teo}[teorema de la probabilidad total]
Si $A_1,...,A_k$ es una partici'on de $S$ y $B$ un evento, entonces
$$P(B) = \sum_{i=1}^k P(B|A_i)P(A_i).$$
\end{teo}
\begin{teo}[teorema de Bayes]
Si $A_1,...,A_k$ es una partici'on de $S$ y $B$ un evento, entonces
$$P(A_j | B) = \frac{P(B | A_j)P(A_j)}{\sum_{i=1}^k P(B|A_i)P(A_i)}.$$
\end{teo}
\begin{defi}[independencia]
Los eventos $A$ y $B$ son independientes sii $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
Equivalentemente $P(A) = P(A|B)$ y $P(B)=P(B|A)$.
\end{defi}
\begin{teo}[independencia del complemento]
Si $A$ y $B$ son independientes, $A$ y $B^c$ tambi'en lo son.
\end{teo}
\begin{defi}[independencia m'ultiple]
Un conjunto de eventos es independiente si para cualquier subconjunto de ellos
la probabilidad de la intersecci'on es el producto de las probabilidades.
\end{defi}
\begin{obs}
Si un conjunto es independiente, sus elementos son independientes de a pares,
pero no al rev'es.
\end{obs}
\section{Variables Aleatorias Discretas}
\begin{defi}[variable aleatoria discreta]
Una \emph{variable aleatoria (v.a.) discreta} es una funci'on
$X : S \to \R$ del espacio muestral en los reales. Puede verse como
una asignaci'on de probabilidades a distintos valores.
\end{defi}
\begin{defi}[funci'on de probabilidad puntual]
La \emph{funci'on de probabilidad puntual} $p_X$ de la v.a. $X$ es la funci'on
que dado un real dice la probabilidad de que $X$ valga eso, es decir
$$p_X(x) = P(X = x) = P(\{w \in S | X(w) = x\}).$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la probabilidad puntual]
La funci'on de distribuci'on acumulada $p_X$ de una v.a. $X$ cumple:
\begin{enumerate}
\item $\forall x p_X(x) \geq 0$
\item $\sum_{x \in Im(X)} p_X(x) = 1$
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[funci'on de distribuci'on acumulada]
La \emph{funci'on de distribuci'on acumulada} de una v.a. discreta $X$ $F_X$
se define para todo $x$ en $\R$ como
$$F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{y \leq x, y \in Im(X)} p_X(y).$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la distribuci'on acumulada]
La funci'on de distribuci'on acumulada $F_X$ de una v.a. $X$ cumple:
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \R\ F_X(x) \in [0,1]$
\item $F_X$ es mon'otona no decreciente
\item $F_x$ es continua a derecha
\item $\limite{x}{\infty} F_X(x) = 1$ y $\limite{x}{-\infty} F_X(x) = 0$
\item En cada punto, el valor del salto es la probabilidad puntual:
$p_X(x) = F_X(x) - F_X(x^-)$.
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{teo}[probabilidad de un intervalo]
Sean $a,b \in \R, a \leq b$. Se cumple que:
\begin{enumerate}
\item $P(a < X \leq b) = F_x(b) - F_x(a)$
\item $P(a < X < b) = F_x(b^-) - F_x(a)$
\item $P(a \leq X \leq b) = F_x(b) - F_x(a^-)$
\item $P(a \leq X < b) = F_x(b^-) - F_x(a^-)$
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[esperanza]
La \emph{esperanza} de una v.a. discreta $X$ se define como
$$E(X) = \mu_X = \sum_{x \in Im(X)} x p_X(x).$$
\end{defi}
\begin{teo}[funci'on de una v.a. discreta]
Si $X$ es una v.a. discreta entonces $f(X)$ tambi'en lo es y su esperanza es
$$E(f(x)) = \sum_{y \in Im(f(X))} y p_{f(X)}(y) =
\sum_{x \in Im(X)} f(x) p_X(x).$$
\end{teo}
\begin{teo}[linealidad de la esperanza]
Si $a,b \in \R$, $E(aX+b) = aE(X)+b$.
\end{teo}
\begin{defi}[varianza y desv'io]
La \emph{varianza} de una v.a. discreta $X$ se define como
$$V(X) = \sigma^2_X = \sum_{x \in Im(X)} (x - \mu_X)^2 p_X(X) =
E[(X-E(X))^2].$$
El \emph{desv'io standard} se define como $\sigma_X = \sqrt{\sigma^2_X}$.
\end{defi}
\begin{teo}[varianza]
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
\end{teo}
\begin{teo}[la varianza es bilineal]
$V(aX+b) = a^2 V(X)$ ($\sigma_{aX+b} = |a|\sigma_X$).
\end{teo}
\subsection{Distribuci'on Binomial}
Se realizan $n$ experimentos independientes con probabilidad de 'exito $p$. Si
$n=1$ es llama distribuci'on de Bernoulli. La variable binomial es la v.a.
$X$:n'umero de 'exitos. Escribimos
$$X \sim Bi(n,p)$$.
\begin{teo}[probabilidad puntual de distribuci'on binomial]
La funci'on de probabilidad puntual de $X \sim Bi(n,p)$ es
$$p_X(k) =
\begin{cases}
{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} & k \in \N, 0 \leq k \leq n \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{cases}
$$
\end{teo}
\begin{obs}
Por la f'ormula de binomio de Newton $(a+b)^n =
\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k}$ podemos ver que
$\sum_x p_X(x) = (p + (1-p))^n = 1$.
\end{obs}
\begin{teo}[esperanza y varianza de distribuci'on binomial]
Si $X \sim Bi(n,p)$ entonces se cumple que $E(X) = np$ y $V(X) = np(1-p)$.
\end{teo}
\begin{teo}[l'imite de la distribuci'on binomial]
Supongamos que $n \to \infty$ y $p \to 0$ tal que
$np = \lambda$, y sea $X \sim Bi(n,p)$ entonces:
$$p_X(k) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} \longrightarrow
\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}.$$
O sea que podemos aproximar, cuando $n$ es grande y $p$ chico, la distribuci'on
por su l'imite. Ver distribuci'on de Poisson.
\end{teo}
\subsection{Distribuci\'on Geom\'etrica}
La v.a. $X$ tiene distribuci'on geom'etrica $G(p)$ si se hacen ensayos
independientes con probabilidad de 'exito $p$ hasta obtener un 'exito
y se cuenta cuantos se hicieron.
\begin{teo}[probabilidad puntal de la geom'etrica]
Si $X \sim G(p)$ entonces $p_X(k) = (1-p)^{k-1}p \forall k \in \N$.
\end{teo}
\begin{teo}[distribuci'on acumulada de la geom'etrica]
Si $X \sim G(p)$ entonces $F_X(x) = 1-(1-p)^{\piso{x}}$.
\end{teo}
\begin{teo}[esperanza y varianza de la geom'etrica]
Si $X \sim G(p)$ entonces
$$E(X) = \frac{1}{p} \mbox{\ \ y\ \ } V(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$
\end{teo}
\begin{teo}[propiedad de falta de memoria]
Si $X \sim G(p)$ y $n,m \in \N$ entonces $P(X > n+m |X > n) = P(X > m)$.
\end{teo}
\subsection{Distribuci\'on Binomial Negativa}
La v.a. $X$ tiene distribuci'on binomial negativa $BN(r,p)$ si se
hacen ensayos independientes con probabilidad de 'exito $p$ hasta
obtener $r$ 'exitos ($r geq 1$). Generaliza la geom'etrica.
\begin{teo}[probabilidad puntal de la binomial negativa]
Si $X \sim BN(r,p)$ entonces
$$p_X(k) = {k-1 \choose r-1} (1-p)^{k-r}p^r \forall k \in
\N_{geq r}.$$
\end{teo}
\begin{teo}[esperanza y varianza de la binomial negativa]
Si $X \sim BN(r,p)$ entonces
$$E(X) = \frac{r}{p} \mbox{\ \ y\ \ } V(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.$$
\end{teo}
\subsection{Distribuci\'on Hipergeom'etrica}
Se tienen $N$ individuos, con $D$ 'exitos y $N-D$ fracasos. Se extrae una
muestra de $n \leq N$. Sea la variable $X$ la cantidad de 'exitos en la
muestra, enonces $X$ tiene distribuci'on hipergeom'etrica $X \sim H(n,N,D)$.
\begin{teo}[probabilidad puntal de la hipergeom'etrica]
Si $X \sim H(n,N,D)$ entonces
$$P_X(k) = \frac{ {D \choose k} {N-D \choose n-k} }
{ {N \choose n} } \hspace{1cm}
max(0,n-(N-D)) \leq k \leq min(n,D).$$
\end{teo}
\begin{teo}[esperanza y varianza de la hipergeom'etrica]
Si $X \sim H(n,N,D)$ entonces
$$E(X) = n\frac{D}{N} \mbox{\ \ y\ \ } V(X)=\left(\frac{N-n}{N-1}\right)
n\frac{D}{N}\left(1-\frac{D}{N}\right).$$
\end{teo}
El t'ermino $\frac{N-n}{N-1}$ se llama factor de correcci'on por poblaci'on
finita. Si $n << N$, el factor tiende a $1$ y se puede aproximar la
hipergeom'etrica por una binomial $H(n,N,D) \sim Bi(n,N/D)$.
\subsection{Distribuci'on de Poisson}
Si $X \sim P(\lambda)$ tiene distribuci'on de poisson su funci'on de
probabilidad puntual est'a dada por
$$p_X(k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}.$$
\begin{teo}[esperanza y varianza de la poisson]
Si $X \sim P(\lambda)$ entonces
$$E(X) = \lambda \mbox{\ \ y\ \ } V(X)=\lambda.$$
\end{teo}
Un proceso de poisson es lo que pasa en un intervalo de tiempo dividible en
subintervalos tal que la probabilidad de la ocurrencia de un evento en cada
subintervalo es independiente de los otros y que la probabilidad de ocurrencia
de mas de un evento en el mismo subintervalo es despreciable. Esto hace que
se aproximable por una binomial tal que $n \to \infty$ y
$p \to 0$ si tendemos el subintervalo a $0$. Esto hace que la
distribuci'on de la cantidad de eventos en un intervalo grande de largo $t$ es
de Poisson con par'ametro $\lambda = np$, porque su funci'on de probabilidad
puntual es el l'imite de la binomial.
\section{Variables Aleatorias Continuas}
Las v.a. continuas resultan de tomar limite de discretizaci'on en una variable
discreta. Formalmente:
\begin{defi}[variable aleatoria continua]
$X$ es una \emph{variable aleatoria continua} si existe una funci'on
$f_X : \R \to \R_{\geq 0}$ llamada \emph{funci'on de densidad} tal que
$$\forall A \subseteq \R, P(X \in A) = \int_A f_X(x)dx.$$
\end{defi}
\begin{obs}
Observamos que las funciones de densidad difieren de las de probabilidad
puntual:
\begin{enumerate}
\item $\forall a P(X = a) = \int_{\{a\}} f_X(x) dx = 0$
\item $f(a)$ no es una probabilidad, de hecho puede ser mayor a $1$.
\end{enumerate}
\end{obs}
\begin{defi}[funci'on de distribuci'on acumulada para continuas]
La \emph{funci'on de distribuci'on acumulada} de una v.a. continua $X$ se
define como la probabilidad del intervalo $(-\infty, x)$ y puede escribirse
como
$$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt.$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la acumulada]
Las funciones de distribuci'on acumulada de v.a. continuas cumplen:
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \R F_X(x) \in [0,1]$
\item $F_X$ es mon'otona no decreciente
\item \label{F-continua}$F_X$ es continua en todo punto.
\item $\limite{x}{\infty} F_X(x) = 1$ y $\limite{x}{-\infty} F_X(x) = 0$.
\end{enumerate}
\end{teo}
Notar que todos salvo \ref{F-continua} son iguales a las propiedades para
discretas. La propiedad \ref{F-continua} vale porque la discontinuidad a
izquierda se pierde porque al continuizar la variable se suaviza la curva.
\begin{teo}[funciones de variables aleatorias]
Si $X$ es una v.a. y $g : \R \to \R$ mon'otona creciente y biyectiva entonces
$F_{g(X)} = F_X \comp g^{-1}$ y $f_{g(X)} = (f_X \comp g^{-1}) {g^{-1}}'$.
\end{teo}
\begin{defi}[percentiles]
Si $X$ es una v.a. continua el percentil $(100 p)$-'esimo de la distribuci'on
de $X$ es $x_p$ tal que $F_X(x_p) = p$.
\end{defi}
\begin{defi}[mediana y cuartiles]
La mediana $\tilde{\mu}$ se define como el percentil $50$-'esimo de la
distribuci'on. Los cuartiles se definen como los percentiles $25$ y
$75$-'esimos.
\end{defi}
\begin{defi}[esperanza de continuas]
Sea $X$ una v.a. continua. La esperanza de $X$ se define como
$$E(X) = \mu_X = \int_{-\infty}^\infty x f_X(x) dx.$$
\end{defi}
\begin{teo}[funciones de una v.a. continua]
Si $X$ es una v.a. continua, $f(X)$ tambi'en lo es y
$$E(f(X)) = \int_{-\infty}^\infty f(x) f_X(x) dx.$$
\end{teo}
\begin{teo}[linealidad de la esperanza]
Si $a,b \in \R$, $E(aX+b) = aE(X)+b$.
\end{teo}
\begin{defi}[varianza y desv'io de continuas]
Sea $X$ una v.a. continua. La varianza de $X$ se define como
$$V(X) = \sigma^2_X = E[(X-\mu_X)^2] =
\int_{-\infty}^\infty (x - \mu_x)^2 f_X(x) dx$$
y el desv'io $\sigma_X = \sqrt{\sigma^2_X}$.
\end{defi}
\begin{teo}[varianza]
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
\end{teo}
\begin{teo}[la varianza es bilineal]
$V(aX+b) = a^2 V(X)$ ($\sigma_{aX+b} = |a|\sigma_X$).
\end{teo}
\begin{defi}[funci'on indicadora]
La funci'on indicadora del conjunto $A$ $I_A : \R \to \R$ se define como:
$$I_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A. \end{cases}$$
\end{defi}
\subsection{Distribuci'on Uniforme}
La distribuci'on uniforme consiste en elegir un n'umero al azar en un
intervalo $[A,B]$ de manera que cualquier subintervalo tiene una probabilidad
proporcional a su largo.
\begin{teo}[densidad de la uniforme]
Si $X \sim U(A,B)$ ($X$ tiene distribuci'on uniforme) entonces
$$f_X(x) = 1/(B-A).$$
\end{teo}
\begin{teo}[funci'on de distribuci'on acumulada de la uniforme]
Si $X \sim U(A,B)$ entonces
$$F_X(x) = \frac{x-A}{B-A} I_{[A,B]}(x) + I_{(B,\infty)}(x).$$
\end{teo}
\begin{teo}[esperanza y varianza de la uniforme]
Si $X \sim U(A,B)$ entonces
$$E(X) = \frac{A+B}{2} \mbox{\ \ y\ \ } V(X) = \frac{(B-A)^2}{2}.$$
\end{teo}
\subsection{Distribuci'on Normal}
$X$ tiene \emph{distribuci'on normal} ($X \sim N(\mu,\sigma^2)$) sii su
funci'on de densidad es
$$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
e ^ {\displaystyle -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}.$$
El gr'afico de dicha funci'on es una campana con eje de simetr'ia y m'aximo en
$x = \mu$ y puntos de inflexi'on en $x = \mu-\sigma$ y $x = \mu+\sigma$.
\begin{defi}[normal standard]
Definimos la distribuci'on \emph{normal standard} como $Z \sim N(0,1)$.
\end{defi}
\begin{teo}[estandarizaci'on de normales]
$$X \sim N(\mu,\sigma^2) \Leftrightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1).$$
\end{teo}
\begin{teo}[acumulada de la normal]
La funci'on acumulada de la normal no puede escribirse como algo que no sea
una integral. Si $X \sim Z$ entonces $F_X(x) = \Phi(x)$.
\end{teo}
Dado el anterior teorema, la acumulada de la normal standard se encuentra
tabulada. De dicha tabla, aplicando la standarizaci'on, se puede obtener
la acumulada de cualquier normal.
\begin{teo}[esperanza y varianza de la normal]
Si $X ~ N(\mu,\sigma^2)$ entonces $E(X) = \mu$ y $V(X) = \sigma^2$.
\end{teo}
\subsection{Distribuci'on Gamma}
\begin{defi}[funci'on Gamma o factorial]
$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}.$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la funci'on Gamma]
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha > 1$ entonces $\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)$.
\item Si $\alpha \in \N$ entonces $\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)!$.
\item $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.
\end{enumerate}
\end{teo}
Se dice que $X$ tiene distribuci'on Gamma ($X \sim \Gamma(\alpha,\lambda)$) si
su funci'on de densidad es
$$f_X(x) =
\frac{e^{-\lambda x} x^{\alpha-1} \lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}.$$
Si $\lambda = 1$ la distribuci'on es Gamma standard de par'ametro $\alpha$.
La distribuci'on de la Gamma standard est'a tabulada para distintos valores de
$\alpha$.
\begin{teo}[esperanza y varianza de la Gamma]
Si $X \sim \Gamma(\alpha,\lambda)$ entonces $E(X) = \alpha/\lambda$ y
$V(X) = \alpha/\lambda^2$.
\end{teo}
\begin{teo}[standarizaci'on de la Gamma]
Si $\lambda > 0$ entonces
$$X \sim \Gamma(\alpha,\lambda) \Leftrightarrow
\lambda X \sim \Gamma(\alpha,1).$$
\end{teo}
\subsection{Distribuci'on Exponencial}
Es un caso particular de la Gamma con $\alpha = 1$. Es decir, $X$ tiene
distribuci'on exponencial ($X \sim \expon(\lambda)$) si su funci'on de
densidad es
$$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} I_{(0,\infty)}(x).$$
\begin{teo}[acumulada de la exponencial]
Si $X \sim \expon(\lambda)$ entonces
$$F_X(x) = 1-e^{-\lambda x} I_{(0,\infty)}.$$
\end{teo}
\begin{teo}[esperanza y varianza de la exponencial]
Si $X \sim \expon(\lambda)$ entonces $E(X) = \lambda^{-1}$ y
$V(X) = \lambda^{-2}$.
\end{teo}
\begin{teo}[falta de memoria]
Si $X \sim \expon(\lambda)$ y $s,t \in \R_{>0}$ entonces
$$P(X > s+t | X > s) = P(X > t).$$
\end{teo}
\begin{teo}[relaci'on entre distribuci'on exponencial y Poisson]
Sea un proceso de Poisson de tasa media $v$ por lo cual la variable $X_t$:
cantidad de eventos en un intervalo $t$ es $X_t \sim P(v t)$ entonces
la v.a. $X$: tiempo hasta el primer evento tiene distribuci'on exponencial
$X \sim \expon(v)$.
\end{teo}
\section{Momentos}
\begin{defi}[momento]
El \emph{momento de orden $k$} de la v.a. $X$ se define como $E(X^k)$.
\end{defi}
\begin{obs}[momentos 1 y 2]
El momento de orden $1$ $E(X) = \mu$ y el momento de orden $2$
$E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2$.
\end{obs}
\begin{defi}[funci'on generadora de momentos]
LA \emph{funci'on generadora de momentos} de la v.a. $X$ se define como
$M_X(t) = E(e^tx)$.
\end{defi}
\begin{teo}[funci'on generadora de momentos]
$E(X^n) = \parcial{^n}{^n t} M_X(0)$.
\end{teo}
Las funciones generadoras de momentos de las distintas distribuciones
mencionadas puede encontrarse en la secci'on~\ref{sec:resumen}.
\begin{teo}[unicidad de la generadora de momentos]
Dada una distribuci'on la funci'on generadora de momentos existe y es 'unica.
Dada una funci'on generadora de momentos, la distribuci'on es 'unica.
\end{teo}
Dado el teorema anterior, la funci'on generadora de momentos sirve para
definir completamente la distribuci'on. Esto es 'util para demostraciones
de que tal v.a. tiene tal distribuci'on.
\section{Generaci'on de n'umeros al azar}
Para generar n'umeros al azar, la idea es generar $X \sim U(0,1)$ y a partir
de ella generar otras distribuciones como $F(X)$.
\begin{teo}Sea $U \sim U(0,1)$ y $G$ una acumulada continua y estrictamente
creciente. Si $X = G^{-1}(U)$ entonces $F_X = G$.
\end{teo}
\begin{teo} Sea $U \sim U(0,1)$ y $G$ una acumulada. Existe $H$ tal que
$H(U)$ tiene funci'on de distribuci'on acumulada $G$.
\end{teo}
\section{Vectores aleatorios}
\newcommand{\pxy}[0]{p_{XY}}
\newcommand{\fxy}[0]{f_{XY}}
\newcommand{\Fxy}[0]{F_{XY}}
\begin{defi}[probabilidad conjunta]
Sean $X$ e $Y$ v.a. discretas sobre el mismo espacio muestral $S$. La
\emph{funci'on de probabilidad conjunta} del par $(X,Y)$ se define como:
$\pxy(x,y) = P(X = x, Y = y)$.
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la probabilidad conjunta]
Una funci'on de probabilidad conjunta satisface
\begin{enumerate}
\item $\forall x,y \pxy(x,y) \geq 0$
\item $\sum_x \sum_y \pxy(x,y) = 1$.
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[probabilidad marginal]
Las \emph{funciones de probabilidad marginal} de $X$ e $Y$ est'an dadas por:
$$p_X(x) = \sum_y \pxy(x,y) \mbox{\ \ y\ \ } p_Y(y) = \sum_x \pxy(x,y).$$
\end{defi}
\begin{defi}[acumulada conjunta discreta] La \emph{funci'on de distribuci'on
acumulada conjunta} de $(X,Y)$ est'a dada por
$$\Fxy(x,y) = \sum_{s \leq x} \sum_{t \leq y} \pxy(s,t).$$
\end{defi}
\begin{defi}[densidad conjunta] $(X,Y)$ es un vector aleatorio continuo
si existe una funci'on llamada \emph{funci'on de densidad conjunta} $\fxy$ tal
que:
$$P((X,Y) \in A \subseteq \R^2) = \iint_A \fxy(x,y)\ dx\ dy.$$
\end{defi}
\begin{obs} En particular si $A = [a,b] \times [c,d]$,
$$P(x \in A) = \int_a^b \int_c^d \fxy(x,y)\ dx\ dy.$$
\end{obs}
\begin{teo}[propiedades de la densidad conjunta]
Una funci'on de densidad conjunta satisface
\begin{enumerate}
\item $\forall x,y \fxy(x,y) \geq 0$
\item $\iint_{\R^2} \fxy(x,y)\ dx\ dy =
\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \fxy(x,y)\ dx\ dy = 1$.
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[densidad marginal]
Las \emph{funciones de densidad marginal} de $X$ e $Y$ est'an dadas por:
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty \fxy(x,y)\ dy \mbox{\ \ y\ \ }
f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty \fxy(x,y)\ dx.$$
\end{defi}
\begin{defi}[acumulada conjunta continua] La \emph{funci'on de distribuci'on
acumulada conjunta} de $(X,Y)$ est'a dada por
$$\Fxy(x,y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y \fxy(s,t)\ dt\ ds.$$
\end{defi}
\begin{defi}[probabilidad condicional] Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio. La
funci'on de probabilidad condicional de $X$ dado que $Y=y$ est'a dada por
$$p_{X|Y=y}(x) = \frac{\pxy(x,y)}{p_Y(y)}.$$
\end{defi}
\begin{defi}[densidad condicional] Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio. La
funci'on de densidad condicional de $X$ dado que $Y=y$ est'a dada por
$$f_{X|Y=y}(x) = \frac{\fxy(x,y)}{f_Y(y)}.$$
\end{defi}
\begin{defi}[independencia]
$X$ e $Y$ son independientes si $\pxy(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$
\end{defi}
\begin{obs}[independencia]
Si $X$ e $Y$ son independientes $p_X = p_{X|Y=y}$ para todo $y$.
\end{obs}
\begin{defi}[esperanza de una funci'on de 2 v.a.]
$$E(h(X,Y)) = \sum_x \sum_y h(x,y) \pxy(x,y),$$
$$E(h(X,Y)) = \iint_{\R^2} h(x,y) \fxy(x,y)\ dx\ dy.$$
\end{defi}
\begin{teo}[linealidad de la esperanza]
$$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c.$$
\end{teo}
\begin{teo}[esperanza de independientes]
Si $X$ e $Y$ son independientes entonces
$$E(XY) = E(X)E(Y).$$
\end{teo}
\begin{defi}[covarianza]
La covarianza de las v.a. $X$ e $Y$ se define como
$\Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$.
\end{defi}
La idea intuitiva es que la covarianza es cercana a $0$ cuanto mas
independientes son las variables. Si es lejana al $0$, el signo indica si la
correlaci'on es positiva o negativa.
\begin{obs}[covarianza y varianza]
$\Cov(X,X) = V(X)$.
\end{obs}
\begin{teo}[covarianza]
$$\Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y).$$
\end{teo}
\begin{teo}[covarianza e independencia]
Si $X$ e $Y$ son independientes, entonces $\Cov(X,Y) = 0.$ La rec'iproca no
vale.
\end{teo}
\begin{defi}[coeficiente de relaci'on]
El \emph{coeficiente de relaci'on} es una estandarizaci'on de la covarianza
para que no dependa de las unidades. Se define como
$$\rho(X,Y) = \frac{\Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} =
\frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}.$$
\end{defi}
\begin{teo}[coeficiente de relaci'on]
El coeficiente de relaci'on cumple lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item $\rho(aX+b,cY+d) = \frac{ab}{|ab|} \rho(X,Y).$
\item $-1 \leq \rho(X,Y) \leq 1$
\item $|\rho(X,Y)| = 1 \Leftrightarrow Y = aX+b$ con probabilidad $1$. Notar
que el coeficiente mide la relaci'on lineal entre las variables.
\end{enumerate}
\end{teo}
\subsection{Extensi\'on a m\'as de dos dimensiones}
\begin{defi}[probabilidad conjunta]
Si $X_1,...,X_k$ son variables aleatorias discretas, su \emph{funci'on de
probabilidad conjunta} es
$$p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) = P(X_1 = x_1,...,X_k = x_k).$$
Dado $A \in \R^k$
$$P((X_1,...,X_k) \in A) =
\sum_{(x_1,...,x_k) \in A} p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k).$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la probabilidad conjunta]
La probabilidad conjunta cumple:
\begin{enumerate}
\item $p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) \geq 0$
\item $\sum_{(x_1,...,x_k) \in \R^k} p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) = 1$
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[probabilidad marginal]
La \emph{probabilidad marginal} de un subvector $X_{i_1},...,X_{i_{k'}}$
est'a dada por:
$$p_{X_{i_1},...,X_{i_{k'}}}(x_{i_1},...,x_{i_{k'}}) =
\sum_{(x_{j_1},...,x_{j_{k-k'}}) \in \R^{k-k'}}
p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k),$$
donde $\{i_1,...,i_k,j_1,...,j_{k-k'}\} = \{1,...,k\}$.
\end{defi}
\subsection{Distribuci'on Multinomial}
Es una generalizaci'on de la distribuci'on binomial. Hay $n$ experimentos
posibles de $k$ resultados posibles con probabilidades $p_1,...,p_k$ tal que
$\sum_i p_i = 1$. Es vector aleatorio de la multinomial es $(X_1,...,X_k)$
donde $X_i$ es el n'umero de veces que sali'o el resultado $i$. Escribimos
$$X \sim M(n,p_1,...,p_k).$$
\begin{defi}[probabilidad conjunta distribuci'on multinomial]
Si $(X_1,...,X_k) \sim M(n,p_1,...,p_k)$ entonces
$$p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) = n! \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{x_i}}{x_i!}.$$
\end{defi}
\begin{obs}
Si $(X_1,...,X_k) \sim M(n,p_1,...,p_l)$ entonces $X_i \sim Bi(n,p_i)$. En
general las marginales de una multinomial son binomiales o multinomiales.
\end{obs}
\begin{defi}[densidad conjunta]
$X_1,...,X_k$ son v.a. continuas si tienen una \emph{funci'on de
densidad conjunta}
$$f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k).$$
Tal que dado $A \subseteq \R^k$
$$P((X_1,...,X_k) \in A) =
\int_A...\int p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) dx_1...dx_k.$$
\end{defi}
\begin{teo}[propiedades de la densidad conjunta]
La densidad conjunta cumple:
\begin{enumerate}
\item $f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) \geq 0$
\item $\int_{\R^k}...\int f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) dx_1...dx_k =
\int_{-\infty}^\infty...\int_{-\infty}^\infty f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k)
dx_1...dx_k = 1$
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[densidad marginal]
La \emph{densidad marginal} de un subvector $X_{i_1},...,X_{i_{k'}}$ est'a dada
por:
$$f_{X_{i_1},...,X_{i_{k'}}}(x_{i_1},...,x_{i_{k'}}) =
\int_{(x_{j_1},...,x_{j_{k-k'}}) \in \R^{k-k'}}...\int
f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) dx_{j_1}...dx_{j_{k-k'}},$$
donde $\{i_1,...,i_k,j_1,...,j_{k-k'}\} = \{1,...,k\}$.
\end{defi}
\begin{defi}[independencia]
$X_1,...X_k$ son vectores aleatorios independientes sii:
$$p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) = \prod_{i=1}^k p_{X_i}(x_i)\mbox{, o}$$
$$f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) = \prod_{i=1}^k f_{X_i}(x_i).$$
\end{defi}
Para buscar la distribuci'on de una funci'on $g$ de varias variables aleatorias
de las que se sabe la conjunta, si es continua se puede plantear la ecuaci'on
$$P(g(X_1,...,X_k) = x) =
\sum_{(x_1,...,x_k) \in \R^k | g(x_1,...,x_k) = x}
P((X_1,...,X_k) = (x_1,...,x_k)).$$
Para las continuas, por otro lado, se debe plantear
$$F_{g(X_1,...,X_k)}(x) = P(g(X_1,...,X_k) \leq x) =
\int_{(x_1,...,x_k) \in \R^k | g(x_1,...,x_k) \leq x} ... \int
f_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) dx_1...dx_k.$$
\begin{teo}[Suma de binomiales]
Si $X \sim Bi(n,p)$ e $Y \sim Bi(m,p)$ son independientes, entonces
$X+Y \sim Bi(n+m,p)$.
\end{teo}
\begin{teo}[Suma de poisson]
Si $X \sim P(\lambda)$ e $Y \sim P(\mu)$ son independientes, entonces
$X+Y \sim P(\lambda + \mu)$.
\end{teo}
\begin{teo}[Suma de geom'etricas]
Si $X_i \sim G(p)$ son independientes, entonces $\sum_i X_i \sim BN(n,p)$.
\end{teo}
\begin{teo}[Suma de exponenciales]
Si $X \sim \expon(\lambda)$ e $Y \sim \expon(\lambda)$ son independientes,
entonces $X+Y \sim \Gamma(2, \lambda)$.
\end{teo}
\begin{teo}[Suma de gamma]
Si $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$ e $Y \sim \Gamma(\beta, \lambda)$ son
independientes, entonces $X+Y \sim \Gamma(\alpha+\beta, \lambda)$.
\end{teo}
\begin{teo}[Suma de normales]
Si $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ e $Y \sim N(\mu', {\sigma^2}')$ son independientes,
entonces $aX+bY \sim N(a\mu+b\mu', a^2\sigma^2+b^2{\sigma^2}')$.
\end{teo}
\begin{teo}[Generadora de momentos de la suma]
Si $X$ e $Y$ son independientes entonces $$M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t).$$
\end{teo}
\begin{teo}[Esperanza y varianza de la suma]
$$E(aX+bY) = aE(x)+bE(y) \mbox{\ \ y\ \ }
V(aX+bY) = a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\Cov(X,Y).$$
\end{teo}
\begin{teo}[Esperanza y varianza del promedio]
Sean $X_1,...,X_n$ v.a.i.i.d. (variables aleatorias independientes
id'enticamente distribuidas) con $E(X_i) = \mu$ y $V(X_i) = \sigma^2$.
Entonces
$$E(\bar{X}) = \mu \mbox{\ \ y\ \ } V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}.$$
\end{teo}
\begin{teo}[desigualdad de Chebyshev]
Si $X$ es una v.a. con $E(X) = \mu$ y $V(X) = \sigma^2$ entonces:
\begin{enumerate}
\item $\forall \eps > 0\ P(|X - \mu| > \eps) \leq \frac{\sigma^2}{\eps^2}$
\item $\forall k > 0\ P(|X - \mu| > k\sigma) \leq \frac{1}{k}$
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{defi}[l'imite en probabilidad]
Diremos que una sucesi'on de v.a. $X_n$ tiende en probabilidad a la v.a. $X$
y notaremos $X_i \tiendep X$ sii
$$\forall \eps > 0\ \limite{n}{\infty} P(|X_n - X| > \eps) = 0.$$
\end{defi}
\begin{teo}[ley de los grandes n'umeros]
Sean $X_1,X_2,...$ v.a.i.i.d. (muestra aleatoria) con $E(X_i) = \mu$ y
$V(X_i) = \sigma^2 < \infty$, entonces $\bar{X_n} \tiendep \mu$ donde
$\bar{X_n} = \sum_{i=1}^n X_i / n$.
\end{teo}
Usando esta idea con la desigualdad de Chebyshev se puede encontrar la m'inima
cantidad de repeticiones de un experimento para estimar la media con error
menor a un valor dado.
\begin{teo}[teorema central del l'imite]
Sean $X_1,X_2,...$ v.a.i.i.d. con $E(X_i)=\mu$ y $V(X_i)=\sigma^2 < \infty$,
entonces si $n$ es suficientemente grande
$$\frac{\sqrt(n)(\bar{X} - \mu)}{\sigma} \tiended Z \sim N(0,1),$$
donde $\tiended$ quiere decir que
$$P\left(\frac{\sqrt(n)(\bar{X} - \mu)}{\sigma} \leq a\right)\simeq\Phi(a).$$
\end{teo}
\begin{obs}[correcci'on por continuidad]
Cuando se usa el teorema central del l'imite para aproximar variables discretas
tiene un problema. Si se calcula $P(X \leq k) + P(X \geq k+1)$ deber'ia dar 1,
pero en la aproximaci'on se pierde la medida del intervalo $[k,k+1]$ que por
ser la aproximaci'on continua, no es 0. Para esto se estima $P(X \leq k)$ como
$P(X \leq (k+k')/2)$ donde $k'$ es el valor del rango de la v.a. inmediato
siguiente a $k$.
\end{obs}
\begin{obs}[aproximaciones normales]
Algunas distribuciones, como la binomial, la poisson o la gamma, son sumas de
s'i misma. Por lo tanto si el parametro sobre el cual se suma es
suficientemente grande, es posible aproximarla por una normal como si se
estuviera aproximando la suma.
\end{obs}
\section{Medidas de res'umen}
\begin{defi}[promedio o media muestral]
El \emph{promedio} o \emph{media muestral} de una muestra aleatoria
$x_1,...,x_n$ est'a dado por
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.$$
\end{defi}
La media muestra es muy sensible a la presencia de anomal'ias.
\begin{defi}[mediana muestral]
La \emph{mediana muestral} de una muestra aleatoria $x_1 \leq x_2 \leq ...
\leq x_n$ est'a dada por
$$\tilde{x} =
\begin{cases}
x_k & x = 2k \\
\frac{1}{2}(x_k+x_{k+1}) & x = 2k+1.
\end{cases}$$
\end{defi}
\begin{defi}[media $\alpha$-podada]
La \emph{media $\alpha$-podada} de una muestra aleatoria $x_1 \leq x_2 \leq ...
\leq x_n$ se define como la media de $x_{[\alpha n] + 1},...,x_{n-[\alpha n]}$
\end{defi}
\begin{obs}[media, mediana y media $\alpha$-podada]
La media $\alpha$-podada es un intermedio entre media y mediana. La media es
la media $0$-podada y la mediana la media $(0.5-\eps)$-podada.
\end{obs}
\begin{defi}[rango muestral]
El \emph{rango muestral} de una muestra aleatoria $x_1 \leq x_2 \leq ...
\leq x_n$ se define como $x_n - x_1$.
\end{defi}
El rango muestral es muy sensible a la presencia de outliers.
\begin{defi}[varianza y desv'io muestral]
La \emph{varianza muestral} de una muestra aleatoria $x_1,...,x_n$ se define
como
$$S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$
y el desv'io como $S = \sqrt{S^2}$.
\end{defi}
\begin{defi}[coeficiente de variaci'on]
El \emph{coeficiente de variaci'on} de una muestra aleatoria $x_1,...,x_n$
son desv'io $S$ se define como $S / \bar{x}$.
\end{defi}
\begin{defi}[percentiles y cuartiles]
El \emph{percentil} $100 \alpha$ de la muestra $x_1,...,x_n$ es
$x_{\lceil\alpha (n+1)\rceil}$ si $\alpha (n+1)$ es entero o mayor a $n$ y
$(x_{\lfloor\alpha (n+1)\rfloor}+x_{\lceil\alpha (n+1)\rceil})/2$ en otro caso.
Llamaremos primer, segundo y tercer \emph{cuartil} a los percentiles $25$,
$50$ y $75$ respectivamente. El primer y tercer cuartiles tambien se llaman
cuartil inferior y superior.
\end{defi}
\begin{defi}[distancia intercuartil]